喪中の期間については明確な決まりがあるわけではなく、明治時代から昭和の初期まで喪中の期間を定めていた法律（太政官布告）を現在も目安としてみるのが一般的です。

息子さんから見ると母方のおじいさまが亡くなったとのことですが、太政官布告によると、90日間の喪中となります。
ただ喪中期間内であっても、50日の忌が明けていればお参りして良いという神社もありますが、12月上旬にお亡くなりになっているなら、お正月はまだ50日の忌も明けないということになります。

受験を控え、色々とご心配な時期かと思います。
お友達と一緒にお参りしたいという息子さんのお気持ちは分かりますが、やはりご心配の種になるようなら初詣は控えたほうがよろしいのではないでしょうか。

合格祈願については、喪にかからない方（ご主人様方のご親戚など）に代理で祈願してもらい、お守りなどもその際にお願いしてはいかがでしょうか。